Codage des non-entiers
Programme
| Notions | Compétences | Remarques |
|---|---|---|
| Représentation approximative des nombres réels : notion de nombre flottant | Calculer sur quelques exemples la représentation de nombres réels : 0.1, 0.25 ou 1/3. | 0.2+0.1 n'est pas égal à 0.3. Il faut éviter de tester l'égalité de deux flottants Aucune connaissance précise de la norme IEEE-754 n'est exigible. |
Activité 1 - Introduction
Effectuer l'opération \(0.1 + 0.2\) avec python :
Étonnant n'est-pas ?! Ce chapitre a pour but de nous aider à y voir plus clair sur l'encodage des nombres entiers.
Conversion d'un nombre réel en base 2
Conversion d'un nombre entier en base 2
Théorème de décomposition en puissances de 2
Tous les nombres réels peuvent s'écrire comme une somme de puissances de 2 (puissances positives et négatives).
Pour tout réel \(x \in \mathbb{R}^+\), il existe \(p \in \mathbb{N}\) et \((a_p,a_{p-1},...,a_0,a_{-1},a_{-2},...)\) tels que \(x = \sum_{i=0}^pa_i2^i+\sum_{i=1}^{+\infty}a_{-i}2^{-i}\)
Principe
Le principe est l'extension du système déjà rencontré pour les nombres entiers. La partie décimale (à droite de la virgule) correspondra aux puissances négatives de 2.
| ... | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ... | \(2^3\) | \(2^2\) | \(2^1\) | \(2^0\) | \(2^{-1}\) | \(2^{-2}\) | \(2^{-3}\) | ... |
| ... | 0 | 1 | 1 | 0, | 1 | 0 | 1 | ... |
Exemple : \(110,101_2=1 \times 2^2 + 1 \times2^1 +0 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} +0 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-2} =4+2+0,5+0,125=6,625\)
Écrire un nombre en binaire revient à calculer les coefficients \(a_k\) (ils sont égaux à 0 ou 1). Il y en a un nombre fini pour la partie entière, mais un nombre potentiellement infini pour la partie décimale.
Méthode
Considérons le nombre \(3,6875\). Il se décompose en une partie entière (3) et une partie décimale (\(0,6875\)).
- partie entière : \(3=11_2\)
- partie décimale : la conversion de \(0,6875\) se fait en plusieurs étapes.
\(0,6875 \times 2 = \textbf{1},375\)
\(0,375 \times 2 = \textbf{0},75\)
\(0,75 \times 2 = \textbf{1},5\)
\(0,5 \times 2 = \textbf{1}\)
On prend ensuite le chiffre des unités de tous les nombres obtenus : 1011
Donc \(3,6875=11,1011_2\)
Synthèse : Changement de base des réels
Activité 2 - Conversion d'un réel en binaire
Donner l'écriture binaire de 20,875.
Réponse
- partie entière : \(20 = 10100_2\)
- partie décimale :
- \(0,875 \times 2 = \textbf{1},75\)
- \(0,75 \times 2 = \textbf{1},5\)
- \(0,5 \times 2 = \textbf{1}\)
Donc \(20,875=10100,111_2\)
Donner l'écriture binaire de 0,2.
Réponse
- partie entière : \(0 = 0_2\)
- partie décimale :
- \(0,2 \times 2 = \textbf{0},4\)
- \(0,4 \times 2 = \textbf{0},8\)
- \(0,8 \times 2 = \textbf{1},6\)
- \(0,6 \times 2 = \textbf{1},2\)
- \(0,2 \times 2 = \textbf{0},4\)
- et cela continue...
Le nombre 0,2 n'admet pas d'écriture binaire finie.
Attention
Certains nombres n'admettent pas une écriture binaire finie. Or la mémoire d'un ordinateur, quelqu'il soit, est toujours finie. Certains nombres ne peuvent donc pas être représentés correctement en machine : c'est une impossibilité théorique. Cela amène à des comportements étranges :
>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
Remarque
Parmi les nombres décimaux à un chiffre après la virgule (0,1 0,2 0,3 ...) seul 0,5 admet une écriture binaire finie ! Tous les autres ont une représentation en machine qui n'en donne qu'une valeur approchée.
Comparaison (des réels) n'est pas raison
Comparaison n'est pas raison
En python, les nombres non entiers sont du type float, ou a virgule flottante.
>>> type(0.1)
<class 'float'>
Ces flottants (traduction française) sont à manipuler avec une extrême précaution. Il faut garder en tête que les calculs sont potentiellement faux, du moins imprécis, lorsque des flottants interviennent.
>>> 0.5-0.2-0.2-0.1
-2.7755575615628914e-17
Un peu d'histoire
En 1991, durant la Guerre du Golfe, un missile anti-missile américain a raté sa cible de 500 mètres car son ordinateur interne émettait un signal toutes les 0.1 secondes. Au bout de 100 heures de fonctionnement, l'approximation du nombre flottant 0.1 a conduit à un décalage de 0,34 secondes, ce qui lui a fait rater sa cible. (source)
Comparer des flottants
Comparer des flottants
Question : Comment donc effectuer un test de comparaison sur des flottants ?
Réponse rapide : ON NE LE FAIT PAS.
Si a et b sont deux flottants, le test classique
if a == b :
print("a et b sont égaux")
a de grandes chances d'échouer :
Si vraiment un test d'égalité est nécessaire, on ne va pas tester l'égalité entre a et b mais leur proximité, grâce à la valeur absolue de leur différence.
# Tests (insensible à la casse)(Ctrl+I)
La fonction abs(a-b) renvoie un nombre positif égal à la distance entre a et b. Il faut alors décider d'un écart minimal e en dessous duquel on considérera que a et b sont égaux.
Activité 3 - Résolution d'équation
On considère la fonction \(f(x)=x^3-6x+2\).
L'équation \(f(x)=1\) admet une solution unique dans l'intervalle \([0;1]\).
Trouver une valeur approchée de cette solution à \(10^{-5}\) près. On prendra e\(=0,001\).
# Tests (insensible à la casse)(Ctrl+I)
Correction
def f(x):
return x**3 - 6 * x + 2
e = 10**(-3)
a = 0
while abs(f(a) - 1 ) > e :
a += 10**(-5)
print(a)
Pour aller plus loin que le programme
La norme IEEE754
# Tests(insensible à la casse)(Ctrl+I)