Représentation d'un entier positif dans différentes bases
Programme
| Notions | Compétences | Remarques |
|---|---|---|
| Écriture d'un entier positif dans une base \(b\geq2\) | Passer de la représentation d'une base dans une autre. | Les bases 2, 10 et 16 sont privilégiées |
Le système binaire
Le système binaire
La notion de Base
En base 2, on ne dispose que des chiffres 0 et 1. Le système binaire est un système de numération de position (comme le système décimal, hexadécimal... mais pas comme le système romain). À chaque rang correspond une puissance de 2.
Les bases utiles en informatique
En plus de la base décimale (base 10) que nous utilisons habituellement, trois bases sont principalement utilisées en informatique :
- la base 2 (le système binaire)
- la base 8 (le système octal)
- la base 16 (le système hexadécimal)
On précisera la base en indice du nombre énoncé : \(13_{10}=1101_2=15_{8}=\rm{D}_{16}\)
Opérations sur les binaires
Opérations sur les binaires
Manipuler les données binaires
Activité 1 - Somme de 2 nombres binaire
L'addition binaire se pose comme celle en décimal (système de retenues).
- Effectuer la somme des deux nombres binaires
00001101et00001011. - Vérifier que le résultat est cohérent en base 10.
Correction
retenues: 1111 00001101 + 00001011 ---------- = 00011000- Cette addition correspond Ă \(13+11=24\)
Conversions en base 2
Conversions
| ... | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ... | \(2^7\) | \(2^6\) | \(2^5\) | \(2^4\) | \(2^3\) | \(2^2\) | \(2^1\) | \(2^0\) |
| ... | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
\(11010010_2=1 \times 2^7+ 1 \times 2^6+0 \times 2^5+1 \times 2^4+0 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+0 \times 2^0=128+64+32+2=210_{10}\)
Le nombre binaire 11010010 correspond donc au nombre décimal 210.
Principe : dans chaque nombre décimal, il existe une plus grande puissance de 2 qui est inférieure au nombre.
Par exemple, dans 243, il y a 128. Donc
\(243=128 + (115)\)
\(243=128+64+(51)\)
\(243=128+64+32+(19)\)
\(243=128+64+32+16+(3)\)
\(243=128+64+32+16+2+1\)
\(243=1 \times 2^7+ 1 \times 2^6+1 \times 2^5+1 \times 2^4+0 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+1 \times 2^0\)
Donc \(243_{10}=11110011_2\)
MĂ©thode des divisions successives
Activité 2 - Nombre de valeurs d'un octet
Quelle est la valeur maximale d'un octet (un octet = 8 chiffres binaires) ?
RĂ©ponse
\(11111111_2=255\). On retrouve ce nombre comme étant la valeur maximale d'une composante de couleur dans le codage RGB, ce qui signifie que chaque composante est codée sur un octet.
Activité 3 - Fonction Python de conversion en binaire
Créer une fonction binaire(n) qui renvoie l'écriture binaire de n, en utilisant les divisions successives.
Rappel Python
L'opérateur // donne le quotient de la division et % donne le reste.
>>> 7//2
3
>>>7%2
1
Le système hexadécimal
Le système hexadécimal
L'inconvénient essentiel du système binaire est la longueur de l'écriture des nombres qu'il génère. Pour cette raison, le système hexadécimal, ou système de base 16 est très souvent employé.
-
Pour écrire en base 2, il faut 2 chiffres différents : le 0 et le 1.
-
Pour écrire en base 10, il faut 10 chiffres différents: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
-
Pour écrire en base 16, il faut donc 16 chiffres différents : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
On a donc la correspondance :
- A représente 10
- B représente 11
- C représente 12
- D représente 13
- E représente 14
- F représente 15
De l'hexadécimal vers le décimal :
| 256 | 16 | 1 |
|---|---|---|
| \(16^2\) | \(16^1\) | \(16^0\) |
| 1 | D | 2 |
\(\rm{1D2}_{16}=1 \times 16^2+ 13 \times 16^1+2 \times 16^0=256+208+2=466_{10}\)
Le nombre hexadécimal 1D2 correspond donc au nombre décimal 466.
En pratique, l'hexadécimal est surtout utilisé pour sa capacité à représenter la valeur de n'importe quel octet sur 2 chiffres ("chiffres" étant à prendre au sens large = chiffres ou lettres !).
Activité 4 - Conversion en hexadécimal
-
Donner la valeur des octets
FF,3A,B2. -
Expliquer pourquoi la couleur RGB (138,255,51) a pour code html
#8AFF33. -
Quelle est la couleur
htmldu blanc ?
RĂ©ponses
-
FF = 255 ; 3A = 58 ; B2 = 178
-
138 a pour code hexa 8A, 255 a pour code hexa 255, 51 a pour code hexa 33.
-
#FFFFFF (rouge, vert et bleu sont au max)
Les changements de base en Python
La fonction int("nombre", base) permet de convertir un nombre de n'importe quelle base en entier décimal. Par exemple, en binaire :
>>> int("11010010", 2)
210
La fonction bin(nombre) renvoie une chaîne de caractère où le nombre binaire est précédé de '0b'.
>>> bin(243)
'0b11110011'
La fonction hex(nombre) renvoie une chaîne de caractère où le nombre hexadécimal est précédé de '0x'.
>>> hex(125)
'0x7d'
On peut utiliser la fonction int("nombre",base).
>>> int("FF", 16)
255
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