Enonce

L’objectif de cet exercice est d’écrire deux fonctions récursives dec_to_bin et bin_to_dec assurant respectivement la conversion de l’écriture décimale d’un nombre entier vers son écriture en binaire et, réciproquement, la conversion de l’écriture en binaire d’un nombre vers son écriture décimale.

Dans cet exercice, on s’interdit l’usage des fonctions Python bin et int.

On rappelle sur l’exemple ci-dessous une façon d’obtenir l’écriture en binaire du nombre 25 :

\(25 = 1 + 2 \times 12\)
\(\phantom{25} = 1 + 2 \times 12\)
\(\phantom{25} = 1 + 2 (0 + 2 \times 6)\)
\(\phantom{25} = 1 + 2 (0 + 2 (0 + 2 \times 3))\)
\(\phantom{25} = 1 + 2 (0 + 2 (0 + 2 (1 + 2 \times 1)))\)
\(\phantom{25} = 1 \times 2^0 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^4\)

L'Ă©criture binaire de 25 est donc 11001.

0n rappelle Ă©galement que :

  • a // 2 renvoie le quotient de la division euclidienne de a par 2.
  • a % 2 renvoie le reste dans la division euclidienne de a par 2.

On indique enfin qu’en Python si mot = "informatique" alors :

  • mot[-1] renvoie 'e', c’est-Ă -dire le dernier caractère de la chaĂ®ne de caractères mot.
  • mot[:-1] renvoie 'informatiqu' , c’est-Ă -dire l’ensemble de la chaĂ®ne de caractères mot privĂ©e de son dernier caractère.

Compléter, puis tester, les codes de deux fonctions ci-dessous. On précise que la fonction récursive dec_to_bin prend en paramètre un nombre entier et renvoie une chaîne de caractères contenant l’écriture en binaire du nombre passé en paramètre.

Exemple :

>>> dec_to_bin(25)
'11001'

La fonction récursive bin_to_dec prend en paramètre une chaîne de caractères représentant l’écriture d’un nombre en binaire et renvoie l’écriture décimale de ce nombre.

>>> bin_to_dec('101010')
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def dec_to_bin(nb_dec):
    q, r = nb_dec // 2, nb_dec % 2
    if q == ...:
        return str(r)
    else:
        return dec_to_bin(...) + ...

def bin_to_dec(nb_bin):
    if nb_bin == '0':
        return 0
    elif ...:
        return 1
    else:
        if nb_bin[-1] == '0':
            bit_droit = 0
        else:
            bit_droit = ...
        return ... * bin_to_dec(nb_bin[:-1]) + ...